3ds Max

Este es uno de los muchos programas de diseño gráfico que se pueden usar hoy en día,aparte de Catia,AUTOcad,etc.Se diferencia algo del resto en que es un programa más de cara al desarrollo de animaciones,luego es muy usado en la industria del videojeugo y del cine en 3D.Sin embargo también tiene aplicaciones en la arquitectura y las ingenierías.

En esta imagen podemos ver la representación en 3D de una silla y sus tres vistas características.

Como se puede ver,los que hemos usado Catia,encontramos muchas similitudes con él.

Formato de papel

El formato actual de papel, din, fue creado por el instituto alemán de normalización, este sistema fue adoptado poco a poco por todos los países europeos hasta convertirse en uno de los modelos más importantes en Europa. Este formato está basado en la norma internacional ISO 216.

El formato inicial es el A0, cuya superficie es de un metro cuadrado, la relación entre los lados es 1: √2. Para calcular el tamaño del siguiente modelo de la serie, se divide por dos el lado más largo y se mantiene la proporción 1: √2.

Aquí os ponemos las medidas y relaciones entre algunos de los distintos formatos, hay hasta DIN A8.

MEDIDAS PAPEL

FORMATO	TAMAÑO (mm)	RELACIÓN
DIN A4	210*297	0.0625 m²(x/y=0.707)
DIN A3	420*297	0.125 m² (x/y=1.4142)
DIN A2	420*594	0.25 m² (x/y=0.707)
DIN A1	840*594	0.5 m² (x/y=1.4142)
DIN A0	840*1188	1.0 m² (x/y=0.707)

Décimo Teorema de Apolonio

Y llegamos al décimo y último problema de Apolonio. Circunferencias Tangentes a tres circunferencias dadas. Se puede obtener hasta ocho soluciones como se puede ver en la siguiente figura (coloreados dos a dos):

En primer lugar, calculamos los puntos de homotecia, que son 6, tres internos y tres externos de las tres circunferencias dadas. Estos 6 puntos resultan estar en 4 rectas. Tomamos una de estas rectas y hallamos el polo respecto de cada una de las tres circunferencias.Unimos el centro radical de las circunferencias con los tres polos y obtenemos los puntos de tangencia de las circunferencias buscadas con las circunferencias dadas.
Ahora, elegimos convenientemente entre los seis puntos de tangencia encontrados para trazar dos circunferencias tangentes. Esta operación se repite hasta obetener las 8 soluciones.

Vemos aqui una animación sobre la costrucción. (click a la imagen)

Noveno problema de Apolonio

El caso que ahora nos ocupa se produce cuando disponemos de un punto, una recta y una circunferencia, y queremos obtener una o más circunferencias que pasen por el punto y que además sean tangentes a la recta y a la circunferencia dadas. Como en los demás problemas, existen enunciados distintos dependiendo del lugar en el que se encuentren los elementos:

En primer lugar vamos a resolver el supuesto en el que tengamos el punto, la recta y la circunferencia separados unos de otros. Primero trazamos una recta perpendicular a la que tenemos que pase por el centro de la circunferencia, obteniendo dos puntos en las intersecciones de la recta perpendicular con la circunferencia (los puntos A y B), y un tercer punto donde se cortan las dos rectas, el punto M. Ahora trazamos una circunferencia que pase por los puntos B, M y P (el punto por el que han de pasar las circunferencias solución). Unimos los puntos A y P con una recta que cotará a la nueva circunferencia en el punto Q. Con esto hemos convertido el noveno problema de Apolonio en el tercero, ya que disponemos de una recta (la del enunciado) y dos puntos (P y Q), resolviéndolo obtenemos dos de las cuatro circunferencias que sirven de solución para este caso. Las otras dos circunferencias se obtienen exactamente igual que éstas pero usando el punto A en lugar del B.

En el siguiente caso partimos de un enunciado en el que el punto P pertenece a la recta. Trazamos una recta que pase por el centro de la circunferencia y la corte en dos puntos (A y B), los cuales unimos con P, obteniendo los puntos M y N en las intersecciones de estas rectas con la circunferencia. Los centros de las circunferencias que queremos hallar se encuentran en los puntos donde se cortan la recta que une los puntos N y el centro de la circunferencia con la recta perpendicular a la recta inicial por el punto P, hallando el punto K (al hacerlo por el punto M en vez del punto N, se obtiene el centro H).

En el último caso el punto P pertenece a la circunferencia. Asi que para hallar los dos centros de las circunferencias solución trazamos, como antes, una recta que pase por el centro de la circunferencia obteniendo los puntos A y B, que unimos con P para encontrar los puntos que cortan estas rectas con la recta inicial, los puntos N y M, por los que trazamos perpendiculares a la recta. Donde estas últimas rectas cortan a otra que une a los puntos P y el centro de la circunferencia se encuentran los centros de las circunferencias que queremos hallar (H y K).

Octavo problema de Apolonio

Este problema consiste en hallar las circunferencias tangentes a otras dos dadas y a una recta, también dada. El problema tiene ocho soluciones, por lo que vemos que se complica algo más que el resto de casos, pero este, como vamos a ver, se soluciona reduciéndolo al caso de un punto, una recta y una circunferencia.

El punto con el que trabajaremos es el centro de una de las circunferencias, la nueva circunferencia, será de radio, la suma de los radios, por lo tanto lo que hemos hecho es dilatar una de las circunferencias en la misma medida en que hemos reducido la otra. Lo mismo para la recta, que la consideramos una circunferencia de radio infinito.

Considerando los radios de las circunferencias R y r, respectivamente:Estas cuatro circunferencias se han obtenido considerando una circunferencia concéntrica de radio R+r; de las cuatro circunferencias, dos se obtienen con una de las paralelas y las otras dos con la otra.

Estas cuatro circunferencias solución se obtienen considerando ahora una circunferencia concéntrica de radio R-r y de nuevo, dos con una de las paralelas y otras dos con la otra.

Con esto, ya tenemos las ocho soluciones posibles al problema de hallar las circunferencias tangentes a otras 2 y a una recta.

Séptimo problema de Apolonio

En este caso se intenta trazar una circunferencia que sea tangente a dos rectas y a otra circunferencia dadas.
Para resolver este problema lo que debemos hacer es trazar dos paralelas a una de las rectas a la distancia del radio de la circunferencia dada.A continuación hallamos el centro O' que es simétrico del centro O respecto a la bisectriz entre las dos rectas enunciado.La recta que pasa tanto por O y O' corta en N y M a las paralelas que hemos trazado antes.Realizamos una circunferencia auxiliar con centro en esa recta(la de O y O') y que pase por O y O',y hallamos los puntos de tangencia de la circunferencia desde M y N (en el dibujo sólo está hecho desde M). Nos llevamos la distancia del punto tangencial a la recta paralela que contiene al punto desde el cual hemos hallado las tangencias y trazamos una perpendicular.La intersección de esta perpendicular con la bisectriz entre las dos rectas enunciado será un centro solución.Podremos encontrar 4 soluciones.

Puede darse el caso de que la circunferencia sea tangente a una de las rectas,en cuyo caso el problema se haría igual,en el caso de la paralela exterior , y con la paralela interior se reduciría al caso de dos rectas y un punto.

Sexto porblema de Apolonio

En este problema, partimos de un punto y dos circunferencias para hallar las circunferencias tangentes a las dos circunferencias y que pasen por el punto.

Primer caso, el punto (P) no pertenece a ninguna de las circunferencias:

Este problema lo vamos a resolver por homotecia, hallamos los centros de homotecia, el H (directo) y K (inverso). Unimos los centros de las circunferencias, dándonos los puntos de corte con estas (A y B). Ahora obtenemos la circunferencia que pasa por los puntos ABP, y el corte de esta circunferencia con la recta que une el punto H y P, obtenemos un punto M.

Ahora utilizando el centro de homotecia K y los puntos P y M, obtenemos las soluciones a este problema.

Segundo caso, el punto (P) pertenece a una de las circunferencias:

El problema se resuelve de forma similar al anterior, se hallan los dos centros de homotecia, H y K. Se traza una recta que una a H y P, y donde corte con la otra circunferencia se obtiene el punto M que es el otro punto de tangencia, los puntos de tangencia (M y P) los unimos con los centros de sus circunferencias y donde se corten estas rectas estará el centro de una de las circunferncias tangentes. Para obtener la otra circunferencia se realiza el mismo procedimiento con el punto K.