3ds Max

Este es uno de los muchos programas de diseño gráfico que se pueden usar hoy en día,aparte de Catia,AUTOcad,etc.Se diferencia algo del resto en que es un programa más de cara al desarrollo de animaciones,luego es muy usado en la industria del videojeugo y del cine en 3D.Sin embargo también tiene aplicaciones en la arquitectura y las ingenierías.

En esta imagen podemos ver la representación en 3D de una silla y sus tres vistas características.

Como se puede ver,los que hemos usado Catia,encontramos muchas similitudes con él.

Formato de papel

El formato actual de papel, din, fue creado por el instituto alemán de normalización, este sistema fue adoptado poco a poco por todos los países europeos hasta convertirse en uno de los modelos más importantes en Europa. Este formato está basado en la norma internacional ISO 216.

El formato inicial es el A0, cuya superficie es de un metro cuadrado, la relación entre los lados es 1: √2. Para calcular el tamaño del siguiente modelo de la serie, se divide por dos el lado más largo y se mantiene la proporción 1: √2.

Aquí os ponemos las medidas y relaciones entre algunos de los distintos formatos, hay hasta DIN A8.

MEDIDAS PAPEL

FORMATO	TAMAÑO (mm)	RELACIÓN
DIN A4	210*297	0.0625 m²(x/y=0.707)
DIN A3	420*297	0.125 m² (x/y=1.4142)
DIN A2	420*594	0.25 m² (x/y=0.707)
DIN A1	840*594	0.5 m² (x/y=1.4142)
DIN A0	840*1188	1.0 m² (x/y=0.707)

Décimo Teorema de Apolonio

Y llegamos al décimo y último problema de Apolonio. Circunferencias Tangentes a tres circunferencias dadas. Se puede obtener hasta ocho soluciones como se puede ver en la siguiente figura (coloreados dos a dos):

En primer lugar, calculamos los puntos de homotecia, que son 6, tres internos y tres externos de las tres circunferencias dadas. Estos 6 puntos resultan estar en 4 rectas. Tomamos una de estas rectas y hallamos el polo respecto de cada una de las tres circunferencias.Unimos el centro radical de las circunferencias con los tres polos y obtenemos los puntos de tangencia de las circunferencias buscadas con las circunferencias dadas.
Ahora, elegimos convenientemente entre los seis puntos de tangencia encontrados para trazar dos circunferencias tangentes. Esta operación se repite hasta obetener las 8 soluciones.

Vemos aqui una animación sobre la costrucción. (click a la imagen)

Noveno problema de Apolonio

El caso que ahora nos ocupa se produce cuando disponemos de un punto, una recta y una circunferencia, y queremos obtener una o más circunferencias que pasen por el punto y que además sean tangentes a la recta y a la circunferencia dadas. Como en los demás problemas, existen enunciados distintos dependiendo del lugar en el que se encuentren los elementos:

En primer lugar vamos a resolver el supuesto en el que tengamos el punto, la recta y la circunferencia separados unos de otros. Primero trazamos una recta perpendicular a la que tenemos que pase por el centro de la circunferencia, obteniendo dos puntos en las intersecciones de la recta perpendicular con la circunferencia (los puntos A y B), y un tercer punto donde se cortan las dos rectas, el punto M. Ahora trazamos una circunferencia que pase por los puntos B, M y P (el punto por el que han de pasar las circunferencias solución). Unimos los puntos A y P con una recta que cotará a la nueva circunferencia en el punto Q. Con esto hemos convertido el noveno problema de Apolonio en el tercero, ya que disponemos de una recta (la del enunciado) y dos puntos (P y Q), resolviéndolo obtenemos dos de las cuatro circunferencias que sirven de solución para este caso. Las otras dos circunferencias se obtienen exactamente igual que éstas pero usando el punto A en lugar del B.

En el siguiente caso partimos de un enunciado en el que el punto P pertenece a la recta. Trazamos una recta que pase por el centro de la circunferencia y la corte en dos puntos (A y B), los cuales unimos con P, obteniendo los puntos M y N en las intersecciones de estas rectas con la circunferencia. Los centros de las circunferencias que queremos hallar se encuentran en los puntos donde se cortan la recta que une los puntos N y el centro de la circunferencia con la recta perpendicular a la recta inicial por el punto P, hallando el punto K (al hacerlo por el punto M en vez del punto N, se obtiene el centro H).

En el último caso el punto P pertenece a la circunferencia. Asi que para hallar los dos centros de las circunferencias solución trazamos, como antes, una recta que pase por el centro de la circunferencia obteniendo los puntos A y B, que unimos con P para encontrar los puntos que cortan estas rectas con la recta inicial, los puntos N y M, por los que trazamos perpendiculares a la recta. Donde estas últimas rectas cortan a otra que une a los puntos P y el centro de la circunferencia se encuentran los centros de las circunferencias que queremos hallar (H y K).

Octavo problema de Apolonio

Este problema consiste en hallar las circunferencias tangentes a otras dos dadas y a una recta, también dada. El problema tiene ocho soluciones, por lo que vemos que se complica algo más que el resto de casos, pero este, como vamos a ver, se soluciona reduciéndolo al caso de un punto, una recta y una circunferencia.

El punto con el que trabajaremos es el centro de una de las circunferencias, la nueva circunferencia, será de radio, la suma de los radios, por lo tanto lo que hemos hecho es dilatar una de las circunferencias en la misma medida en que hemos reducido la otra. Lo mismo para la recta, que la consideramos una circunferencia de radio infinito.

Considerando los radios de las circunferencias R y r, respectivamente:Estas cuatro circunferencias se han obtenido considerando una circunferencia concéntrica de radio R+r; de las cuatro circunferencias, dos se obtienen con una de las paralelas y las otras dos con la otra.

Estas cuatro circunferencias solución se obtienen considerando ahora una circunferencia concéntrica de radio R-r y de nuevo, dos con una de las paralelas y otras dos con la otra.

Con esto, ya tenemos las ocho soluciones posibles al problema de hallar las circunferencias tangentes a otras 2 y a una recta.

Séptimo problema de Apolonio

En este caso se intenta trazar una circunferencia que sea tangente a dos rectas y a otra circunferencia dadas.
Para resolver este problema lo que debemos hacer es trazar dos paralelas a una de las rectas a la distancia del radio de la circunferencia dada.A continuación hallamos el centro O' que es simétrico del centro O respecto a la bisectriz entre las dos rectas enunciado.La recta que pasa tanto por O y O' corta en N y M a las paralelas que hemos trazado antes.Realizamos una circunferencia auxiliar con centro en esa recta(la de O y O') y que pase por O y O',y hallamos los puntos de tangencia de la circunferencia desde M y N (en el dibujo sólo está hecho desde M). Nos llevamos la distancia del punto tangencial a la recta paralela que contiene al punto desde el cual hemos hallado las tangencias y trazamos una perpendicular.La intersección de esta perpendicular con la bisectriz entre las dos rectas enunciado será un centro solución.Podremos encontrar 4 soluciones.

Puede darse el caso de que la circunferencia sea tangente a una de las rectas,en cuyo caso el problema se haría igual,en el caso de la paralela exterior , y con la paralela interior se reduciría al caso de dos rectas y un punto.

Sexto porblema de Apolonio

En este problema, partimos de un punto y dos circunferencias para hallar las circunferencias tangentes a las dos circunferencias y que pasen por el punto.

Primer caso, el punto (P) no pertenece a ninguna de las circunferencias:

Este problema lo vamos a resolver por homotecia, hallamos los centros de homotecia, el H (directo) y K (inverso). Unimos los centros de las circunferencias, dándonos los puntos de corte con estas (A y B). Ahora obtenemos la circunferencia que pasa por los puntos ABP, y el corte de esta circunferencia con la recta que une el punto H y P, obtenemos un punto M.

Ahora utilizando el centro de homotecia K y los puntos P y M, obtenemos las soluciones a este problema.

Segundo caso, el punto (P) pertenece a una de las circunferencias:

El problema se resuelve de forma similar al anterior, se hallan los dos centros de homotecia, H y K. Se traza una recta que una a H y P, y donde corte con la otra circunferencia se obtiene el punto M que es el otro punto de tangencia, los puntos de tangencia (M y P) los unimos con los centros de sus circunferencias y donde se corten estas rectas estará el centro de una de las circunferncias tangentes. Para obtener la otra circunferencia se realiza el mismo procedimiento con el punto K.

Quinto Problema de Apolonio

Continuamos con el quinto problema de Apolonio que no es más que el problema fundamental de tangencias, es decir, circunferencia que pasa por 2 puntos y es tangente a una circunferencia.

Como vemos, tenemos una circunferencia (en negrita) y dos puntos A y B. La recta AB (en rojo) es el eje radical de las dos circunferencias buscadas, y también el eje radical de cualquier circunferencia que pasen por A y B. Trazamos una circunferencia auxiliar (en negro) que pasa por A y B de forma que corte a la circunferencia dada. El eje radical de estas dos circunferencias corta a la recta AB en M, siendo entonces M el centro radical de las dos circunferencias buscadas y de la circunferencia dada. La longitud de las tangentes desde M a las tres circunferencias debe ser la misma.

trazandos las tangentes de MP y MQ desde M a la circunferencia dada, MP y MQ también serán tangentes circunferencias buscadas. Ya que la recta que une los centros contiene al punto de tangencia de dos circunferencias para obtener los centros de las circunferencias buscadas trazaremos rectas que unan P y Q con el centro de la circunferencia dada, cortando a la mediatriz de AB en dichos centros.

Cuarto problema de Apolonio

En este caso disponemos de dos rectas y de un punto, y queremos hallar las circunferencias que pasen por el punto y que sean tangentes a las dos rectas. Para ello tendremos en cuenta que existen tres tipos de enunciados que definen tres maneras distintas para resolver este problema:
El primero se produce cuando las dos rectas se cortan y el punto no pertenece a ninguna de ellas. Para resolverlo hallamos la bisectriz del ángulo que forman las rectas en el lugar donde contienen al punto, para hallar el homólogo del punto (por donde también pasarán las tangentes que buscamos). Al hacer esto, hemos convertido este caso en uno de los del tercer problema, ya que disponemos de dos puntos y tenemos que hallar las circunferencias tangentes a cualquiera de las dos rectas, por lo que obtendremos dos circunferencias como solución (una a cada lado de los puntos homólogos).

El segundo caso es más sencillo, ya que tenemos que resolverlo cuando el punto pertenece a una de las rectas, por lo que éste es el punto de tangencia con esa recta. Asi que trazamos la recta perpendicular por el punto y las bisectrices de las rectas, los puntos donde se corten son los centros de las dos circunferencias que nos pedían.

Y para finalizar este probema tenemos el caso de que las dos rectas sean paralelas. Este caso a su vez puede dividirse en dos, cuando el punto es perteneciente a una de las dos rectas y cuando no. Si el punto no pertenece a ninguna de las rectas y se encuentra entre ellas (si no se encuentra entre las rectas el problema no tiene solución), trazamos la recta que equidista de las dos que nos daban, y en los puntos donde corte a una circunferencia que trazaremos con centro en el punto y con diámetro igual a la distancia entre las rectas, hallaremos los centros de las dos circunferencias que necesitábamos. Y si el punto pertenece a una de las rectas, la solución será el punto medio de la perpendicular que une las rectas y que pasa por el punto dado, obteniendo en este caso una única circunferencia como solución.

Tercer problema de Apolonio

Este problema consiste en hallar las circunferencias que pasan por dos puntos, y una recta. Nos podemos encontrar con varios casos, que determinarán el número de soluciones del problema.

En primer lugar, nos encontramos con una recta y dos puntos que se encuentran en una recta paralela a la anterior. En este caso, sólo habrá una solución, cuyo centro se encontrará en la mediatriz que une los puntos, de este modo encontramos el punto de tangencia con la recta, al conocer 3 puntos, se reduce a hallar la única circunferencia que pasa por ellos.
Otro de los casos consiste en que los puntos no se encuentren en una paralela a la recta pero sí en el mismo lado. El análisis detallado es el siguiente: la recta AB es el eje radical de las dos circunferencias buscadas, y también de cualquier par de circunferencias que pasen por A y B. Cualquier punto M del la recta AB tendrá la misma potencia respecto de dos de esas circunferencias, es decir las tangentes desde M medirán lo mismo. Si tomamos como M el punto de intersección de AB con la recta dada, entonces M será el punto medio de la tangente común PQ a las dos circunferencias buscadas. La distancia MP = MQ será igual a la longitud de la tangente MT de la tangente des M a cualquier circunferencia que pase por A y B, por ejemplo la cirucunferencia con diámetro AB.
Ya el último de los casos posibles consiste en que uno de los puntos se encuentre sobre la recta, y por tanto este es el punto de tangencia, luego el centro de la circunferencia se encontrará en la perpendicular en ese punto B, y al conocer otro punto A, también sabemos que el centro está en la mediatriz de los dos, el lugar que cumpla las dos condiciones será el centro de nuestra circunferencia solución.

Segundo problema de Apolonio

El segundo problema, o caso, de Apolonio es hallar las circunferencias tangentes a tres rectas dadas.Este es uno de los casos mas sencillos, ya que estamos muy familiarizados con él y lo hemos estado resolviendo desde hace tiempo sin haber oido hablar nada antes de Apolonio.

Para resolver este problema nos fijamos en los triángulos que forman las tres rectas.Como se forman cuatro triángulos,aunque tres de ellos no lo sean realmente,habrá cuatro circunferencias solucion.Para hallar cada una debemos trazar las bisectrices de los ángulos y donde se corten estas obtendremos el incentro, o el centro de la circunferencia tangente a las tres rectas.

Existe un caso particular,que dos rectas sean paralelas y una secante,en cuyo caso solo hay dos soluciones.Para obtenerlas debemos trazar la bisectriz del angulo que forma la secante con ambas rectas paralelas,y una recta que equidiste de las paralelas y tenga la misma direccion que estas.En el fondo,esto último vuelve a ser una bisectriz,solo que el vértice está en el infinito.

El primer problema de Apolonio

Ahora vamos a plantear el primer problema de Apolonio, que consiste en hacer pasar una circunferencia por tres puntos, este problema se puede resolver fácilmente si se conocen las propiedades de los triángulos. La terna de puntos forma un triángulo, con cada uno de los puntos como vértice, así el problema consiste en hacer la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

Para obtener el circuncentro, centro de la circunferencia, hay que hallar las mediatrices de los lados del triángulo, donde estas se corten se encuentra el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, la circunferencia pasa por los tres vértices, que son los tres puntos por los que tenia que pasar la circunferencia.

Problemas de Apolonio

Apolonio de Perga era conocido como "el gran geómetra". Sabemos poco de su vida pero sus trabajos tuvieron una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas. Apolonio el matemático nació en Perga, Panfilia, lo que es hoy conocido como Murtina.

Lo único que sabemos sobre la vida de Apolonio lo encontramos en el prefacio de las diferentes ediciones de Las cónicas.

Definió los principales elementos y propiedades de las curvas, determinó tangentes y normales (las líneas más cortas que se pueden trazar desde un punto a una cónica), y formuló gran cantidad de teoremas y demostraciones. Entre sus aportaciones perdidas había un método rápido para calcular la longitud de la circunferencia a partir del diámetro.

-De los problemas de Apolonio destacan 10 casos:

Tres puntos
Tres rectas
Dos puntos y una recta
Dos rectas y un punto
Dos puntos y una circunferencia
Dos circunferencias y un punto
Dos rectas y una circunferencia
Dos circunferencias y una recta
Un punto, una recta y una circunferencia
Tres circunferencias

Aplicaciones de la Geometría en Dibujos Animados

En los dibujos animados se utilizan muchos recursos relacionados con la geometría, aquí os mostramos como uno de los personajes más conocidos de los dibujos animados se puede representar, fácilmente, con circunferencias, y distintas relaciones entre ellas.

También podemos ver a este famoso dibujo, en perspectiva cónica.

Aquí presentamos un video sobre cómo realizar un dibujo con sólo la utilización de circunferencias y rectas:

!!!

Más ejemplos de personajes creados mediante representaciones simples de figuras geométricas son éstos. El primero es de otra conocida serie de dibujos animados, mientras el segundo se trata del protagonista de un videojuego: