El caso que ahora nos ocupa se produce cuando disponemos de un punto, una recta y una circunferencia, y queremos obtener una o más circunferencias que pasen por el punto y que además sean tangentes a la recta y a la circunferencia dadas. Como en los demás problemas, existen enunciados distintos dependiendo del lugar en el que se encuentren los elementos:
En primer lugar vamos a resolver el supuesto en el que tengamos el punto, la recta y la circunferencia separados unos de otros. Primero trazamos una recta perpendicular a la que tenemos que pase por el centro de la circunferencia, obteniendo dos puntos en las intersecciones de la recta perpendicular con la circunferencia (los puntos A y B), y un tercer punto donde se cortan las dos rectas, el punto M. Ahora trazamos una circunferencia que pase por los puntos B, M y P (el punto por el que han de pasar las circunferencias solución). Unimos los puntos A y P con una recta que cotará a la nueva circunferencia en el punto Q. Con esto hemos convertido el noveno problema de Apolonio en el tercero, ya que disponemos de una recta (la del enunciado) y dos puntos (P y Q), resolviéndolo obtenemos dos de las cuatro circunferencias que sirven de solución para este caso. Las otras dos circunferencias se obtienen exactamente igual que éstas pero usando el punto A en lugar del B.
En el siguiente caso partimos de un enunciado en el que el punto P pertenece a la recta. Trazamos una recta que pase por el centro de la circunferencia y la corte en dos puntos (A y B), los cuales unimos con P, obteniendo los puntos M y N en las intersecciones de estas rectas con la circunferencia. Los centros de las circunferencias que queremos hallar se encuentran en los puntos donde se cortan la recta que une los puntos N y el centro de la circunferencia con la recta perpendicular a la recta inicial por el punto P, hallando el punto K (al hacerlo por el punto M en vez del punto N, se obtiene el centro H).
En el último caso el punto P pertenece a la circunferencia. Asi que para hallar los dos centros de las circunferencias solución trazamos, como antes, una recta que pase por el centro de la circunferencia obteniendo los puntos A y B, que unimos con P para encontrar los puntos que cortan estas rectas con la recta inicial, los puntos N y M, por los que trazamos perpendiculares a la recta. Donde estas últimas rectas cortan a otra que une a los puntos P y el centro de la circunferencia se encuentran los centros de las circunferencias que queremos hallar (H y K).
