Sexto porblema de Apolonio

En este problema, partimos de un punto y dos circunferencias para hallar las circunferencias tangentes a las dos circunferencias y que pasen por el punto.

Primer caso, el punto (P) no pertenece a ninguna de las circunferencias:

Este problema lo vamos a resolver por homotecia, hallamos los centros de homotecia, el H (directo) y K (inverso). Unimos los centros de las circunferencias, dándonos los puntos de corte con estas (A y B). Ahora obtenemos la circunferencia que pasa por los puntos ABP, y el corte de esta circunferencia con la recta que une el punto H y P, obtenemos un punto M.

Ahora utilizando el centro de homotecia K y los puntos P y M, obtenemos las soluciones a este problema.

Segundo caso, el punto (P) pertenece a una de las circunferencias:

El problema se resuelve de forma similar al anterior, se hallan los dos centros de homotecia, H y K. Se traza una recta que una a H y P, y donde corte con la otra circunferencia se obtiene el punto M que es el otro punto de tangencia, los puntos de tangencia (M y P) los unimos con los centros de sus circunferencias y donde se corten estas rectas estará el centro de una de las circunferncias tangentes. Para obtener la otra circunferencia se realiza el mismo procedimiento con el punto K.

Quinto Problema de Apolonio

Continuamos con el quinto problema de Apolonio que no es más que el problema fundamental de tangencias, es decir, circunferencia que pasa por 2 puntos y es tangente a una circunferencia.

Como vemos, tenemos una circunferencia (en negrita) y dos puntos A y B. La recta AB (en rojo) es el eje radical de las dos circunferencias buscadas, y también el eje radical de cualquier circunferencia que pasen por A y B. Trazamos una circunferencia auxiliar (en negro) que pasa por A y B de forma que corte a la circunferencia dada. El eje radical de estas dos circunferencias corta a la recta AB en M, siendo entonces M el centro radical de las dos circunferencias buscadas y de la circunferencia dada. La longitud de las tangentes desde M a las tres circunferencias debe ser la misma.

trazandos las tangentes de MP y MQ desde M a la circunferencia dada, MP y MQ también serán tangentes circunferencias buscadas. Ya que la recta que une los centros contiene al punto de tangencia de dos circunferencias para obtener los centros de las circunferencias buscadas trazaremos rectas que unan P y Q con el centro de la circunferencia dada, cortando a la mediatriz de AB en dichos centros.

Cuarto problema de Apolonio

En este caso disponemos de dos rectas y de un punto, y queremos hallar las circunferencias que pasen por el punto y que sean tangentes a las dos rectas. Para ello tendremos en cuenta que existen tres tipos de enunciados que definen tres maneras distintas para resolver este problema:
El primero se produce cuando las dos rectas se cortan y el punto no pertenece a ninguna de ellas. Para resolverlo hallamos la bisectriz del ángulo que forman las rectas en el lugar donde contienen al punto, para hallar el homólogo del punto (por donde también pasarán las tangentes que buscamos). Al hacer esto, hemos convertido este caso en uno de los del tercer problema, ya que disponemos de dos puntos y tenemos que hallar las circunferencias tangentes a cualquiera de las dos rectas, por lo que obtendremos dos circunferencias como solución (una a cada lado de los puntos homólogos).

El segundo caso es más sencillo, ya que tenemos que resolverlo cuando el punto pertenece a una de las rectas, por lo que éste es el punto de tangencia con esa recta. Asi que trazamos la recta perpendicular por el punto y las bisectrices de las rectas, los puntos donde se corten son los centros de las dos circunferencias que nos pedían.

Y para finalizar este probema tenemos el caso de que las dos rectas sean paralelas. Este caso a su vez puede dividirse en dos, cuando el punto es perteneciente a una de las dos rectas y cuando no. Si el punto no pertenece a ninguna de las rectas y se encuentra entre ellas (si no se encuentra entre las rectas el problema no tiene solución), trazamos la recta que equidista de las dos que nos daban, y en los puntos donde corte a una circunferencia que trazaremos con centro en el punto y con diámetro igual a la distancia entre las rectas, hallaremos los centros de las dos circunferencias que necesitábamos. Y si el punto pertenece a una de las rectas, la solución será el punto medio de la perpendicular que une las rectas y que pasa por el punto dado, obteniendo en este caso una única circunferencia como solución.

Tercer problema de Apolonio

Este problema consiste en hallar las circunferencias que pasan por dos puntos, y una recta. Nos podemos encontrar con varios casos, que determinarán el número de soluciones del problema.

En primer lugar, nos encontramos con una recta y dos puntos que se encuentran en una recta paralela a la anterior. En este caso, sólo habrá una solución, cuyo centro se encontrará en la mediatriz que une los puntos, de este modo encontramos el punto de tangencia con la recta, al conocer 3 puntos, se reduce a hallar la única circunferencia que pasa por ellos.
Otro de los casos consiste en que los puntos no se encuentren en una paralela a la recta pero sí en el mismo lado. El análisis detallado es el siguiente: la recta AB es el eje radical de las dos circunferencias buscadas, y también de cualquier par de circunferencias que pasen por A y B. Cualquier punto M del la recta AB tendrá la misma potencia respecto de dos de esas circunferencias, es decir las tangentes desde M medirán lo mismo. Si tomamos como M el punto de intersección de AB con la recta dada, entonces M será el punto medio de la tangente común PQ a las dos circunferencias buscadas. La distancia MP = MQ será igual a la longitud de la tangente MT de la tangente des M a cualquier circunferencia que pase por A y B, por ejemplo la cirucunferencia con diámetro AB.
Ya el último de los casos posibles consiste en que uno de los puntos se encuentre sobre la recta, y por tanto este es el punto de tangencia, luego el centro de la circunferencia se encontrará en la perpendicular en ese punto B, y al conocer otro punto A, también sabemos que el centro está en la mediatriz de los dos, el lugar que cumpla las dos condiciones será el centro de nuestra circunferencia solución.

Segundo problema de Apolonio

El segundo problema, o caso, de Apolonio es hallar las circunferencias tangentes a tres rectas dadas.Este es uno de los casos mas sencillos, ya que estamos muy familiarizados con él y lo hemos estado resolviendo desde hace tiempo sin haber oido hablar nada antes de Apolonio.

Para resolver este problema nos fijamos en los triángulos que forman las tres rectas.Como se forman cuatro triángulos,aunque tres de ellos no lo sean realmente,habrá cuatro circunferencias solucion.Para hallar cada una debemos trazar las bisectrices de los ángulos y donde se corten estas obtendremos el incentro, o el centro de la circunferencia tangente a las tres rectas.

Existe un caso particular,que dos rectas sean paralelas y una secante,en cuyo caso solo hay dos soluciones.Para obtenerlas debemos trazar la bisectriz del angulo que forma la secante con ambas rectas paralelas,y una recta que equidiste de las paralelas y tenga la misma direccion que estas.En el fondo,esto último vuelve a ser una bisectriz,solo que el vértice está en el infinito.