En primer lugar, nos encontramos con una recta y dos puntos que se encuentran en una recta paralela a la anterior. En este caso, sólo habrá una solución, cuyo centro se encontrará en la mediatriz que une los puntos, de este modo encontramos el punto de tangencia con la recta, al conocer 3 puntos, se reduce a hallar la única circunferencia que pasa por ellos.
Otro de los casos consiste en que los puntos no se encuentren en una paralela a la recta pero sí en el mismo lado. El análisis detallado es el siguiente: la recta AB es el eje radical de las dos circunferencias buscadas, y también de cualquier par de circunferencias que pasen por A y B. Cualquier punto M del la recta AB tendrá la misma potencia respecto de dos de esas circunferencias, es decir las tangentes desde M medirán lo mismo. Si tomamos como M el punto de intersección de AB con la recta dada, entonces M será el punto medio de la tangente común PQ a las dos circunferencias buscadas. La distancia MP = MQ será igual a la longitud de la tangente MT de la tangente des M a cualquier circunferencia que pase por A y B, por ejemplo la cirucunferencia con diámetro AB.
Ya el último de los casos posibles consiste en que uno de los puntos se encuentre sobre la recta, y por tanto este es el punto de tangencia, luego el centro de la circunferencia se encontrará en la perpendicular en ese punto B, y al conocer otro punto A, también sabemos que el centro está en la mediatriz de los dos, el lugar que cumpla las dos condiciones será el centro de nuestra circunferencia solución.
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