Quinto Problema de Apolonio

Continuamos con el quinto problema de Apolonio que no es más que el problema fundamental de tangencias, es decir, circunferencia que pasa por 2 puntos y es tangente a una circunferencia.

Como vemos, tenemos una circunferencia (en negrita) y dos puntos A y B. La recta AB (en rojo) es el eje radical de las dos circunferencias buscadas, y también el eje radical de cualquier circunferencia que pasen por A y B. Trazamos una circunferencia auxiliar (en negro) que pasa por A y B de forma que corte a la circunferencia dada. El eje radical de estas dos circunferencias corta a la recta AB en M, siendo entonces M el centro radical de las dos circunferencias buscadas y de la circunferencia dada. La longitud de las tangentes desde M a las tres circunferencias debe ser la misma.

trazandos las tangentes de MP y MQ desde M a la circunferencia dada, MP y MQ también serán tangentes circunferencias buscadas. Ya que la recta que une los centros contiene al punto de tangencia de dos circunferencias para obtener los centros de las circunferencias buscadas trazaremos rectas que unan P y Q con el centro de la circunferencia dada, cortando a la mediatriz de AB en dichos centros.